Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Okay, hallo, guten Morgen, alles klar. Wir schauen uns gerade an den Fernraum kurz um.

Das heißt, wir wollen verstehen, wie in der Quantenmechanik viele Teilchen-Systeme behandelt werden, zum Beispiel ein Gas.

Und die wichtigste Eigenschaft in der Quantenmechanik ist da, ob die Teilchen identisch sind.

Und wenn sie identisch sind, dann gibt es eben zwei Arten von Teilchen, nämlich Fermion und Boson.

Ich wiederhole nochmal kurz, worin die sich unterscheiden.

Also wir hätten hier ein Vielteilchen-System.

Und wir beschreiben das durch eine Wellenfunktion, die abhängt von all den Koordinaten dieser Teilchen,

x1 für das erste Teilchen, x2 für das zweite Teilchen und so weiter bis xn für das nte Teilchen.

Und die Frage, die wir uns dann gestellt haben, was passiert, wenn man zwei dieser Teilchenkoordinaten vertauscht?

Weil die Tatsache, dass die Teilchen identisch sind, bedeutet ja, wenn ich was früher x1 war jetzt x2 nenne

und was früher x2 war jetzt x1 nenne, dann vertausche ich nur diese beiden Teilchen, da sie aber identisch sind,

komme ich eigentlich zur selben Konfiguration. Hat sich gar nichts geändert.

Und insofern würde es ja Sinn machen, wenn sich dann auch die Wellenfunktion nicht ändert.

Das stimmt nicht ganz. Was sich nicht ändert, ist tatsächlich das Betragsquadrat der Wellenfunktion,

das heißt die Wahrscheinlichkeitsdichte für diese beiden Konfigurationen, die sich nur durch Umnummerierung unterscheiden, ist dieselbe.

Aber die Wellenfunktion selber kann sich ändern, ohne dass das Betragsquadrat sich ändert, und zwar sie könnte noch ein Vorzeichen aufsammeln.

Also hier diese beiden Koordinaten habe ich vertauscht. Meine Wellenfunktion hat vielleicht ein Vorzeichen aufgesammelt.

Wenn sie ein Vorzeichen bekommen, hat ein Minuszeichen, dann nennen wir die Teilchen fermion.

Wenn sie kein Vorzeichen aufsammelt, sondern wirklich symmetrisch ist, dann nennen wir die Teilchen bosonen.

Und diese zwei Möglichkeiten gibt es. Wenn ich nämlich jetzt nochmal zurück vertausche, komme ich ja wieder zur Ausgangswellenfunktion zurück.

Und das ist dann auch so, weil bei den Fermionen kriege ich ein zweites Minuszeichen. Und bei den Bosonen ist es sowieso okay.

Gut. Wir hatten dann argumentiert, dass falls zu irgendeinem Zeitpunkt die Vielteilchenwellenfunktion so eine Symmetrie hat,

dann bleibt es für alle Zeiten so, wenn es identische Teilchen sind. Weil halt der Hamilton-Operator selber symmetrisch ist.

Zum Beispiel jedes Teilchen hat dieselbe Masse, oder auch die potenzielle Energie ist symmetrisch, wenn ich Teilchen vertausche.

Denn die Energie von dieser Konfiguration wird sich auch nicht ändern, nur weil ich das Teilchen 1 jetzt 2 nenne und das Teilchen 2 jetzt 1 nenne.

Das sind gleiche Teilchen. Es wäre völlig anders, wenn die unterschiedliche Ladungen hätten.

Dann wäre jetzt plötzlich das stark geladene Teilchen an der anderen Stelle und natürlich ändert sich dann die potenzielle Energie.

Okay. Was wir heute machen wollen, ist ein bisschen systematischer die Wellenfunktion hinschreiben.

Und zwar wir wollen uns eigentlich eine Basis konstruieren in diesem Vielteilchen-Hilbertraum.

Also eine Basis für diese Wellenfunktion, die von den vielen Koordinaten abhängt.

Und wovon wir ausgehen wollen, ist, dass wir für ein Teilchen schon eine Basis gefunden hätten.

Sagen wir, die Teilchen bewegen sich in einem externen Potential. Das ist natürlich dasselbe für jedes Teilchen, weil sie identisch sind.

Und wir haben dafür schon die Schrödinger Gleichung gelöst. Das heißt, wir haben die ein Teilchen-Wellenfunktion und die Energieniveaus.

Und sagen wir, das sind hier die Energieniveaus für dieses ein Teilchen Problem.

Die können wir durchnummerieren, 1, 2, 3 und so weiter. Und zu jedem Energieniveau gehört natürlich eine Energie.

Die werden wir später dann Epsilon 1, Epsilon 2, Epsilon 3 und so weiter nennen.

Und es gehört eine ein Teilchen-Wellenfunktion, die Energieeigenfunktion.

Das wäre Phi 1 von x, Phi 2 von x, Phi 3 von x und so weiter.

Also das ist das ein Teilchen-Problem.

Und diese Energieeigenfunktionen formen eine Basis.

Also das soll unser Startpunkt sein. Zum Beispiel, wenn das externe Potential, in dem sich all diese Teilchen bewegen, ein harmonisches Oszillatorpotential wäre,

dann würden wir da halt die Energieniveaus des harmonischen Oszillators bewegen.

Die immer gleiche Abstände haben. Fine. Das wäre jetzt für ein Teilchen.

Die Frage ist, wie wir dann hergehen und uns Wellenfunktionen für viele Teilchen konstruieren, die gerade diese Eigenschaft haben.

Wenn man Koordinaten vertauscht, ändert sich nichts. Oder es gibt halt nur ein Minus und ein Minus.

Und machen wir das mal verbosen. Also unser Ziel ist, wir wollen passende Vielteilchenwellenfunktionen konstruieren.

Zum Beispiel, wenn wir eine

zum Beispiel zunächst mal für Bosonen. Und ich will das Beispiel sehr konkret halten.

Ich will mir vorstellen, ich hätte drei Bosonen.